Chapter4、5
1. 泊松方程和拉普拉斯方程¶
泊松方程： $$ \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon} $$ 拉普拉斯方程： $$ \nabla^2 V = 0 $$
\(\nabla^2 V\)表示梯度的散度：
- 直角坐标系：
$$ \nabla^2 V = \nabla \cdot \nabla V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} $$
- 圆柱坐标：
$$ \nabla^2 V = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \left( r \frac{\partial V}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} $$
- 球坐标：
$$ \nabla^2 V = \frac{1}{R^2} \frac{\partial }{\partial R} \left( R^2 \frac{\partial V}{\partial R} \right) + \frac{1}{R^2 \sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{R^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} $$
2. 电流密度和欧姆定律¶
由于电流是电荷的时间变化率，可得： $$ \Delta I = N q \mathbf{u} \cdot \Delta \mathbf{s} $$ 定义体电流密度 \(\mathbf{J}\)： $$ \mathbf{J} = N q \mathbf{u} = \rho \mathbf{u} \;\; (A/m^2) \tag{5-1} $$ 其中 \(\rho\) 表示单位体积内的自由电荷密度
在传导电流中，可能有不止一种电荷载体，它们以不同速度漂移，可将（5-1）推广： $$ \mathbf{J} = \sum_{i}^{} N_i q_i \mathbf{u}_i $$ 对金属导体而言，电荷载体的平均漂移速度可表示为： $$ \mathbf{u} = \mu_e \mathbf{E} \;\; (m/s) $$ 其中 \(\mu_e\) 是电子迁移率
代入式（5-1）可得 $$ \mathbf{J} = - \rho_e \mu_e \mathbf{E} $$ 定义电导率 \(\sigma = - \rho_e \mu_e\)，半导体中 \(\sigma = - \rho_e \mu_e + \rho_h \mu_h\)，得 $$ \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} $$ 称其为欧姆定律的点函数形式（使用时注意其电场强度为总的电场强度）
由 $$ J = \frac{I}{S} = \sigma E = \sigma \frac{V}{l} $$ 可得 $$ V = \left( \frac{l}{\sigma S} \right) I = R I $$ 所以 $$ R = \frac{l}{\sigma S} $$
3. 电动势和基尔霍夫电压定律¶
电动势： $$ V = \int_{1}^{2} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} $$ 该式指电源外部电极 1（正极）指到电极 2（负极）
基尔霍夫电压定律： $$ \sum_{j}^{} V_j = \sum_{k}^{} R_k I_k $$
4. 连续性方程和基尔霍夫电流定律¶
由电流的定义： $$ I = \oint_{S}^{} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} = - \frac{dQ}{dt} = - \frac{d}{dt} \int_V \rho \, dv $$ 再由散度定理将面积分转换为体积分：
得到连续性方程： $$ \nabla \cdot \mathbf{J} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} \;\; (A/m^2) $$ 对于稳恒电流，电荷密度不随时间变化： $$ \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \tag{5-2} $$ 式（5-2）是一个点函数关系，该式意味着 \(\rho = 0\) 的所有点无流量源也满足这个关系式，这表明稳恒电流的场线或者流线自行闭合，可导出 $$ \oint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} = 0 $$ 可写为 $$ \sum_{j} I_j = 0 $$ 该式即为基尔霍夫电流定律的表达式
5. 功耗和焦耳定律¶
易得 $$ dP = \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} \, dv $$ 点函数 \(\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}\) 是稳恒电流条件下的功率密度，易得焦耳定律 $$ P = \int_V \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} \, dv $$ 在恒定截面的导体中 \(dv = ds \, dl\) $$ P = \int_L E \, dl \int_S J \, ds = V I $$
6. 电流密度的边界条件¶
无散矢量场的法向分量在分界面是连续的： $$ \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$ $$ J_{1n} = J_{2n} $$
无旋矢量场的切向分量在分界面是连续的： $$ \nabla \times \left( \frac{\mathbf{J}}{\sigma} \right) = 0 $$
电场的方向分量必须同时满足下面两式：
其中参考单位法线由介质 2 向外，因此除非 \(\sigma_2 / \sigma_1 = \epsilon_2 / \epsilon_1\)，否则面电荷一定存在于分界面上
当介质 2 的导电性远好于介质 1 得 $$ \rho_s = \epsilon_1 E_{1n} = D_{1n} $$