Chapter 6¶

一、真空中静磁学的基本公理¶

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \tag{6-1} \]

\[ \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{J} \tag{6-2} \]

分别运用散度定理和斯托克斯定理可得积分形式： $$ \oint_S \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{s} = 0 $$ $$ \oint_C \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \mu I $$

二、矢量磁位¶

由(6-1)及一个矢量的旋度的散度为0，定义矢量磁位$\boldsymbol{A}$： $$ \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} $$ 代入(6-2)并令 $$ \nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0 $$ 可得 $$ \nabla^2 \boldsymbol{A} = -\mu \boldsymbol{J} \tag{6-3} $$ (6-3)等价于： $$ \nabla^2 A_x = -\mu J_x $$

\[ \nabla^2 A_y = -\mu J_y \]

\[ \nabla^2 A_z = -\mu J_z \]

在真空中有一个特解： $$ \boldsymbol{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{\boldsymbol{J}}{\boldsymbol{R}} \, dv' (\text{Wb/m}) \tag{6-4} $$

总结：可以从$\boldsymbol{J} \to \boldsymbol{A} \to \boldsymbol{B}$

磁通量计算方法： $$ \Phi = \int_S \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{s} = \int_S \left( \nabla \times \boldsymbol{A} \right) \cdot d\boldsymbol{s} = \oint_{C} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{l} $$

三、毕奥-萨伐定律及应用¶

对一根截面面积为$S$的细导线： $$ \boldsymbol{J} \, dv' = \boldsymbol{J} \, S \, dl' = I \, d\boldsymbol{l}' $$ 将其代入(6-4)得： $$ d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left( \frac{d\boldsymbol{l}' \times \boldsymbol{R}}{R^3} \right) $$

四、磁偶极子¶

\[ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{a}_\phi \frac{\mu_0 (I \pi b^2)}{4\pi R^2} \sin \theta = \frac{\mu_0 \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{a_R}}{4\pi R^2} \ \ \ (\text{Wb/m}) \tag{6-5} \]

其中： $$ \boldsymbol{m} = \boldsymbol{a_z} I S = \boldsymbol{a_z} m (\text{A/m}^2) $$ 被定义为一个矢量，大小为回路中电流和回路面积的乘积，方向是当右手的四指指向电流方向时，大拇指的方向。

\[ \boldsymbol{B} = \frac{\mu \boldsymbol{m}}{4\pi R^3} \left( \boldsymbol{a_R} 2 \cos \theta + \boldsymbol{a_\theta} \sin \theta \right) \]

五、磁化强度和等效电流密度¶

定义磁化矢量$\boldsymbol{M}$：

\[ \boldsymbol{M} = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\sum_{k=1}^{n \Delta v} \boldsymbol{m}_k}{\Delta v} \]

根据式(6-5)可得：

\[ \boldsymbol{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{\nabla' \times \boldsymbol{M}}{R} \, dv' + \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{S'} \frac{\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{a_n'}}{R} \, ds' \]

与(6-4)比较，可将磁化矢量强度效应等效为一个体电流密度：

\[ \boldsymbol{J}_m = \nabla \times \boldsymbol{M} \]

和一个面电流密度： $$ \boldsymbol{J}_{ms} = \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{a_n} $$

六、磁场强度和相对磁导率¶

在磁性材料中： $$ \nabla \times \left( \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M} \right) = \boldsymbol{J} $$ 定义电场强度$\boldsymbol{H}$，使得： $$ \boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M} $$ 得到： $$ \nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J} \tag{6-6} $$ 对其两边取标量面积分，得到相应的积分形式： $$ \oint_c \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = I $$

七、静磁场的边界条件¶

由其散度为0可得，在分界面处的法向分量连续： $$ B_{1n} = B_{2n} $$

\[ \mu_1 H_{1n} = \mu_2 H_{2n} \]

由(6-6)得其切向分量不连续： $$ \boldsymbol{a}_{n2} \times \left( \boldsymbol{H}_1 - \boldsymbol{H}_2 \right) = \boldsymbol{J}_s $$ $\boldsymbol{a}_{n2}$是分界面从媒质2向外的单位法线。

八、磁能¶

\[ W_m = \int_{V'} w_m \, dv' \]

\[ w_m = \frac{1}{2} \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{B} \ \ \ (\text{J/m}^3) \]