chapter3¶
- 静电学的两个基本定理 $$ \bigtriangledown\cdot E=\frac\rho \epsilon_0 \ $$ $$ \bigtriangledown\times E=0 $$
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库伦定律： $$ E_P=\boldsymbol a_{qP}\frac{q}{4\pi\epsilon_0{\left|\boldsymbol R-\boldsymbol R'\right|}^2} $$ 其中\(a_{qP}\)是从q到P所画的单位矢量
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相距\(d\)的电偶极子产生的电位 $$ \boldsymbol p=q\boldsymbol d\ $$ $$ V=\frac{qdcos\theta}{4\pi\epsilon_0R^2}=\frac{\boldsymbol p\cdot \boldsymbol a_R}{4\pi\epsilon_0R^2} $$ 电偶极子在球坐标下的电场强度 $$ E=-\nabla V =\frac{p}{4\pi\epsilon_0R^3}(\boldsymbol a_R2cos\theta+\boldsymbol a_\theta sin\theta) $$
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连续分布电荷的电场
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体电荷 $$ E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{V'}\boldsymbol a_R\frac{\rho_v} {R^2}dv' $$
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面电荷 $$ E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{S'}\boldsymbol a_R\frac{\rho_s} {R^2}ds' $$
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线电荷 $$ E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{L'}\boldsymbol a_R\frac{\rho_l} {R^2}dl' $$
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一个无旋矢量总是可以表示位一个标量场的梯度，所以可以定义一个标量电位V $$ E=-\nabla V $$
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导体或真空界面的边界条件 $$ E_t=0\ $$ $$ E_n=\frac{\rho_s}{\epsilon_0} $$ 导体内 $$ \rho=0\ $$ $$ E=0 $$
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极化电介质计算场公式 $$ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\oint_{V'}\frac{\rho_{p}} {R}dv'+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\oint_{S'} \frac{\rho_{ps}} {R}ds' $$ 其中等效极化电荷面密度\(\rho_{ps}=\boldsymbol P\cdot\boldsymbol a_n\)，等效极化电荷体密度\(\rho_p=-\nabla \cdot\boldsymbol P\)
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对电介质中的散度定理进行修正 $$ \nabla\cdot\boldsymbol E=\frac1\epsilon_0(\rho+\rho_p) $$ 将\(\rho_p\)进行代换得 $$ \nabla\cdot(\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P)=\rho $$ 定义电位移 $$ D=\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P $$ 得到两个任何媒质中的基本约束方程 $$ \nabla\cdot\boldsymbol D=\rho\ $$ $$ \nabla\times\boldsymbol E=0 $$
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静电场的边界条件 $$ \boldsymbol E_{1t}=\boldsymbol E_{2t}\ $$ $$ \boldsymbol a_{n2}\cdot(\boldsymbol D_1-\boldsymbol D_2)=\rho_s $$