激光放大器¶

一、激光放大器的增益¶

光子流密度（单位面积单位时间的光子流）： $$ \phi(z)=\frac{I(z)}{h\nu} $$ 受激吸收，单位体积单位时间减少的光子数为$N_1W_i$ 受激辐射，单位体积单位时间增加的光子数为$N_2W_i$ $$ d\phi=NW_idz $$

\[ \frac{d\phi}{dz}=NW_i=N\phi(z)\sigma(\nu)=\gamma(\nu)\phi(z) \]

定义增益系数（每单位介质长度光子流密度净增益）： $$ \gamma(\nu)=N\sigma(\nu)=N\frac{\lambda^2}{8\pi t_{sp}}\text{g}(\nu)\tag{1-1} $$ 所以位置z处的光子流密度为： $$ \phi(z)=\phi(0)e^{\gamma(\nu)z} $$ 光强为： $$ I(z)=I(0)e^{\gamma(\nu)z} $$ 长度为d的激光放大器的总增益为 $$ G(\nu)=\frac{I(d)}{I(0)}=e^{\gamma(\nu)d} $$ 具有洛伦兹线形函数的增益介质的相移系数为： $$ \phi(\nu)=\frac{\nu-\nu_0}{\Delta \nu}\gamma(\nu) $$

二、速率方程¶

（1）无辐射¶

能级1和能级2的粒子数密度增加速率如下 $$ \frac{dN_2}{dt}=R_2-\frac{N_2}{\tau_2} $$

\[ \frac{dN_1}{dt}=-R_1-\frac{N_1}{\tau_1}+\frac{N_2}{\tau_{21}} \]

稳态时$(N=N_2-N_1)$ $$ N_0 = R_2 \tau_2 \left( 1 - \frac{\tau_1}{\tau_{21}} \right) + R_1 \tau_1\tag{2-1} $$ $N_0$表示无辐射时的稳态粒子数差由$(1-1)$可知获得大的增益系数需要大的$N_0$，所以由（2-1）可知要获得大的$N_0$需满足以下条件

大的$R_1$和$R_2$
长的$\tau_2$
小的$\tau_1$

理想情况下，应有$\tau_{21}\approx t_{sp}\ll\tau_{20}$，所以$\tau_2\approx t_{sp}$，$\tau_1\ll t_{sp}$ 所以上式可化为 $$ N_0\approx R_2t_{sp}+R_1\tau_1 $$ 如果$R_1=0$ $$ N_0\approx R_2t_{sp} $$

（2）有辐射¶

共振频率$\nu_0$附近辐射的存在使得能级1和能级2之间发生受激吸收和辐射等跃迁 $$ \frac{dN_2}{dt}=R_2-\frac{N_2}{\tau_2}-N_2W_i+N_1W_i $$

\[ \frac{dN_1}{dt}=-R_1-\frac{N_1}{\tau_1}+\frac{N_2}{\tau_{21}}+N_2W_i-N_1W_i \]

稳态时： $$ N = \frac{N_0}{1 + \tau_s W_i} $$

\[ \tau_s = \tau_2 + \tau_1 \left(1 - \frac{\tau_2}{\tau_{21}}\right) \]

因为$\tau_2\le\tau_{21}$，所以$\tau_s$大于0，所以有辐射时的粒子数差总是比无辐射时的稳态粒子数差小；N随$W_i$的增大单调递减趋于0，在$W_i$为$1/\tau_s$时，稳态粒子数差减为无辐射时的一半

三、四能级泵浦机制¶

在此情况下以速率R将原子从能级0泵浦到能级3，所以有$R_2=R$，$R_1=0$，所以 $$ N_0 = R \tau_2 \left( 1 - \frac{\tau_1}{\tau_{21}} \right) $$ 在大多数四能级系统中，能级2到能级1的非辐射跃迁可以忽略，$(t_{sp} \ll \tau_{nr}) \ \text{and} \ \tau_{20} \gg t_{sp} \gg \tau_1$，so $$ N_0\approx Rt_{sp} $$

\[ \tau_s\approx t_{sp} \]

所以 $$ N \approx \frac{R t_{sp}}{1 + t_{sp} W_i} $$ 考虑泵浦速率和反转粒子数相关，假设总的原子密度为$N_a$。 $$ N_g + N_1 + N_2 + N_3 = N_a \quad \text{and} \quad N_1 ≈ N_3 ≈ 0 $$ （能级1和3是短寿命的）

则处于基态的粒子数密度为，

$$ N_g ≈ N_a - N_2 ≈ N_a - N $$ 泵浦涉及一个从基态到能级3的跃迁，假设其跃迁概率密度为W，则

$$ R ≈ (N_a - N)W $$ 泵浦速率R为随反转粒子数差N线性减少的函数，并不独立于N

代入上式并整理可得

\[ N ≈ \frac{t_{sp} N_a W}{1 + t_{sp} W_i + t_{sp} W} \]

上式进一步整理可得

\[ N = \frac{N_0}{1 + \tau_s W_i} \]

其中

\[ N_0 \approx \frac{t_{sp} N_a W}{1 + t_{sp} W} \quad \tau_s \approx \frac{t_{sp}}{1 + t_{sp} W} \]

在弱泵浦条件下($W \ll 1/t_{sp}$)，$N_0 \approx t_{sp} N_a W$，正比于$W$（泵浦跃迁概率密度），$\tau_s \approx t_{sp}$，和前面结果相同
当泵浦增强时，$N_0$饱和（趋向于$N_a$），$\tau_s$降低

四、三级泵浦机制¶

外部能量源以速率R将原子从能级1泵浦到能级3，能级3快速弛豫到能级2，所以有 $$ R_1=R_2=R \text{and} \tau_2=\tau_{21},\tau_1=\infty $$ 代入原始的速率方程可得 $$ 0 = R - \frac{N_2}{\tau_{21}} - N_2 W_i + N_1 W_i $$ 令 $$ N_1 + N_2 = N_a $$ 所以 $$ N_0=2R\tau_{21}-N_{a} $$

\[ \tau_s=2\tau_{21} \]

同时因为能级2到能级1得非辐射跃迁速率可以忽略，所以 $$ N_0\approx2Rt_{sp}-N_{a} $$

\[ \tau_s\approx2t_{sp} \]

在三能级系统中，基态的高粒子数集聚从本质上成为取得粒子数反转的障碍，而四能级不存在这种障碍

由 $N_1 + N_2 + N_3 = N_a$, $N = N_2 - N_1$, 以及 $N_3 \approx 0$, 可得 $N_1 = \frac{1}{2}(N_a - N)$

从 $R \approx (N_1 - N_3)W$, $N_3 \approx 0$ 可得 $R \approx \frac{1}{2}(N_a - N)W$

代入 $$ N = (2Rt_{sp} - N_a)/(1 + 2t_{sp}W_i) $$ 可得 $$ N = \frac{N_0}{1 + \tau_s W_i} $$ 此时 $$ N_0 = \frac{N_a(t_{sp}W - 1)}{1 + t_{sp}W} $$

\[ \tau_s = \frac{2t_{sp}}{1 + t_{sp}W} \]

五、增益系数¶

将 $$ W_i = \phi\sigma(\nu) $$ 代入粒子数密度公式：

\[ N = \frac{N_0}{1 + \tau_s W_i} \]

可得：

\[ N = \frac{N_0}{1 + \phi / \phi_s (\nu)} \]

其中饱和光子流密度定义为：

\[ \frac{1}{\phi_s (\nu)} = \tau_s \sigma(\nu) = \frac{\lambda^2 \tau_s}{8\pi t_{sp}} g(\nu) \]

代入增益系数表达式：

$$ \gamma(\nu) = N\sigma(\nu) = N \frac{\lambda^2}{8\pi t_{sp}} g(\nu) $$ 最终得到均匀加宽介质的饱和增益系数：

\[ \gamma(\nu) = \frac{\gamma_0 (\nu)}{1 + \phi / \phi_s (\nu)} \]

其中：

$\(\gamma_0 (\nu) = N_0 \sigma(\nu) = N_0 \frac{\lambda^2}{8\pi \tau_{sp}} g(\nu)$\) 为小信号增益系数
$\(\phi_s(\nu)$\) 为饱和光子流密度
$\(\phi$\) 为实际光子流密度

位置 $z$ 处，单位长度光子流密度的增加量：

\[ d\phi = \gamma \phi dz \]

代入饱和增益系数 $\gamma(\nu) = \dfrac{\gamma_0 (\nu)}{1 + \phi / \phi_s (\nu)}$，得到：

\[ \frac{d\phi}{dz} = \frac{\gamma_0 \phi}{1 + \phi / \phi_s} \]

将方程重写为：

\[ \left( \frac{1}{\phi} + \frac{1}{\phi_s} \right) d\phi = \gamma_0 dz \]

积分可得：

\[ \ln \frac{\phi(z)}{\phi(0)} + \frac{\phi(z) - \phi(0)}{\phi_s} = \gamma_0 z \]

因此，放大器的输入光子流密度 $\phi(0)$ 和输出 $\phi(d)$ 光子流密度的关系可表示为：

\[ [\ln(Y) + Y] = [\ln(X) + X] + \gamma_0 d \]

其中：

$X = \phi(0) / \phi_s$
$Y = \phi(d) / \phi_s$
$X$ 和 $Y$ 为归一化到饱和光子流密度的输入和输出光子流密度

小信号近似情况

当 $X$ 与 $Y$ 都远小于 1 时（即光子流密度远小于饱和光子流密度），关系式可简化为：

\[ \ln Y = \ln X + \gamma_0 d \]

即：

\[ Y = X \exp(\gamma_0 d) \]

此时为线性关系，称为小信号近似。

大信号情况

当 $X$ 远大于 1 时（即输入光子流密度远大于饱和光子流密度），关系式可简化为：

\[ Y = X + \gamma_0 d \]

即：

\[ \phi(d) = \phi(0) + \frac{N_0 d }{\tau_s} \]

此时输出光子流密度随长度线性增长，称为大信号情况。