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激光振荡理论及其输出特性

一、激光振荡理论

  • 放大器的小信号增益必须大于整个反馈系统的损耗，即在整个反馈回路中，存在净增益；
  • 光在振荡器的整个回路中往返一周的总相位偏移量必须是2π的整数倍，这样经反馈输出信号的相位与原始输入信号的相位刚好相匹配

1.损耗

\[ \alpha_r = \alpha_s + \alpha_{m1} + \alpha_{m2} \]
\[ \alpha_{m1} = \frac{1}{2d} \ln \frac{1}{R_1} \]
\[ \alpha_{m2} = \frac{1}{2d} \ln \frac{1}{R_2} \]
\[ \alpha_m = \alpha_{m1} + \alpha_{m2} = \frac{1}{2d} \ln \frac{1}{R_1 R_2} \]

2.光子寿命

\[ \tau_p=\frac{1}{\alpha_rc} \]

3. 光学谐振腔

  • 谐振频率 $$ \nu_q=q\nu_F $$

  • 谐振峰带宽 $$ \delta\nu\approx\frac{\nu_F}{F}=\frac{1}{2\pi\tau_p},\nu_F=c/2d $$

  • 细度 $$ F\approx\frac{\pi}{\alpha_rd}=2\pi\tau_p\nu_F $$

二、激光振荡条件

  • 增益条件：决定了所需的最少的反转粒子数，并因此决定了激光振荡需要的泵浦阈值
  • 相位条件：决定了激光振荡时的频率

1.增益条件

激光振荡的启动必须满足小信号增益系数大于损耗系数 $$ \gamma_0(\nu) > \alpha_r $$

\[ N_0 = \gamma_0(\nu)/\sigma(\nu) > \alpha_r/\sigma(\nu) \]
\[ N_0 > N_t \]

其中 \(N_t\): 阈值反转粒子数差，决定了激光振荡的最小泵浦速率

where: $$ N_t = \frac{\alpha_r}{\sigma(\nu)} $$ or $$ N_t = \frac{1}{c\tau_p \sigma(\nu)} $$ 代入 $$ \sigma(\nu)=\frac{\lambda^2}{8\pi t_{sp}}\text{g}(\nu) $$ 得到 $$ N_t = \frac{8\pi t_{sp}}{\lambda^2 c \tau_p \text{g}(\nu)} $$ 对于中心频率处\(\text{g}(\nu_0)=2/\pi\Delta \nu\) $$ N_t = \frac{2\pi}{ \lambda^2 c } \frac{2\pi\Delta\nu t_{sp}}{\tau_p} $$ 进一步地，如果跃迁只由自发辐射寿命为tsp的寿命增宽所限制，\(\Delta\nu=1/2\pi t_{sp}\) $$ N_t = \frac{2\pi}{ \lambda^2 c } \frac{2\pi\Delta\nu t_{sp}}{\tau_p} \quad \longrightarrow \quad N_t = \frac{2\pi}{\lambda^2 c \tau_p} = \frac{2\pi\alpha_r}{\lambda^2} $$

2. 相位条件

\[ 2kd + 2\varphi(\nu)d = 2\pi q, \quad q=1, 2, \dots \]

当介质产生的额外相位不可忽略时，代入洛伦兹线形的相位变化 $$ \phi(\nu)=\frac{\nu-\nu_0}{\Delta \nu}\gamma(\nu) $$ 得 $$ \nu + \frac{c}{2\pi \Delta\nu} (\nu - \nu_0) \gamma(\nu) = \nu_q \quad $$ or $$ \nu = \nu_q - \frac{c}{2\pi \Delta\nu} (\nu - \nu_0) \gamma(\nu) \quad $$ 令\(\nu=\nu_q'\approx \nu_q\) $$ \nu'_q = \nu_q - \frac{c}{2\pi} \frac{\nu_q - \nu_0}{\Delta\nu} \gamma(\nu_q) \quad $$ 即实际振荡频率\(\nu_q'\)比冷腔频率\(\nu_q\)更靠近介质的中心频率\(\nu_0\)

在稳态条件下，增益等于损耗可得 $$ \gamma(\nu_q) = \alpha_r \approx \pi/Fd = (2\pi/c)\delta\nu $$ 代入 $$ \nu'_q = \nu_q - \frac{c}{2\pi} \frac{\nu_q - \nu_0}{\Delta\nu} \gamma(\nu_q) $$ 由此可见：

  • 腔膜越陡（δv 越小），牵引效应越不明显
  • 原子的振荡线宽越小（Δv越小），牵引效应就越明显

3. 输出光子流密度

考虑稳态的时候增益等于损耗 $$ \frac{\gamma_0(\nu)}{[1 + \phi / \phi_s(\nu)]} = \alpha_r $$ 得到稳态时的光子流密度 $$ \phi = \begin{cases} \phi_s(\nu) \left[ \frac{\gamma_0(\nu)}{\alpha_r} - 1 \right], & \gamma_0(\nu) > \alpha_r \ 0, & \gamma_0(\nu) \le \alpha_r \end{cases} $$ 可以将其换为用反转粒子数差表示的形式 $$ \phi = \begin{cases} \phi_s(\nu) \left( \frac{N_0}{N_t} - 1 \right), & N_0 > N_t \ 0, & N_0 \le N_t \end{cases} $$ 假设反射镜的透射率为T，可以得到输出光子流密度（因为谐振腔里光有两个传播方向所以要除2） $$ \phi_0 = \frac{T\phi}{2} $$ 对于的激光输出强度为 $$ I_0 = \frac{h\nu T\phi}{2} $$ 对应的激光输出功率为 $$ P_0 = I_0 A $$